kmo 기출 손 풀이 2022년 중등부 조합 5번

kmo 기출 손 풀이 2022년 중등부 조합 5번입니다. 2022년은 코로나19로 온라인 시험이었어요. 오전, 오후 각각 1시간 15분씩 시험을 보았고 20문항 100점 만점이었습니다. 오늘은 그중 조합 5번 풀이를 해보려고 합니다. 제가 임의로 붙인 번호입니다.

 

2022-중등-kmo-조합5번

 

2022 KMO 중등부 조합 5번 문제 및 전체 풀이

회전을 고려하는 문제입니다. 조합 공부를 하다가 보면 만나는 난관(?) 중 하나라고 생각이 들어요. 급하게 생각하지 않으면 좋겠습니다. 추천하는 방법은 하나의 문제를 여러 번 반복해서 풀어보는 것입니다. 외우고도 남을 정도로 반복해서 풀면 그다음부터는 잘 적용할 수 있습니다. 이번 기출문제도 반복해서 풀어보기 좋은 문제입니다. 문제는 다음과 같아요.

 

▶ 2022 kmo 중등부 조합 5번

정십이각형의 각 꼭짓점 중 5개는 빨간색, 나머지 7개는 파란색으로 색칠하려고 한다. 다음 조건을 만족하도록 색칠하는 경우의 수를 구하여라. (단, 회전하여 같은 것은 한 가지로 센다)

[조건] 파란색으로 색칠된 세 점을 꼭짓점으로 가지는 정삼각형을 만들 수 없다. 

 

여러 풀이가 있을 수 있겠죠. 그중 하나는 다음 사진의 손 풀이가 될 수 있겠어요.

 

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임의의 7개 선택에서 정삼각형이 생기는 경우를 제외합니다. 선택되는 것은 모두 12가지로 다르지만 회전하여 같은 것은 한 가지로 생각하기로 한다면 모두 같기 때문에 12로 나누는 것을 이해한다면 문제가 해결됩니다. 조금 더 자세한 설명이 필요하신 분들을 위해 사이사이 설명을 더 넣어 볼게요.

 

더 자세한 풀이

12개의 점으로 파란색으로 칠하는 점을 선택하면 나머지는 모두 빨간색으로 자동 염색이 됩니다. 따라서 7개의 점을 선택하는 것으로 생각할 수 있어요. 이제 다음과 같이 7개의 점을 선택하는 것을 보죠.

 

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정삼각형이 생기는 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9의 선택과 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10의 선택은 \( _{12} C_7 \)에서 모두 다른 것입니다. 서로 다른 선택이기 때문이죠. 그런데 시계 방향으로 한 번을 돌리면(핑크) 둘의 모양은 완벽하게 포갤 수 있습니다. 따라서 회전을 해서 같은 모양인 것이죠. 따라서 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9를 회전해서 얻을 수 있는 것은 모두 12가지입니다. 이 12가지는 \( _{12} C_7 \)에서 모두 다른 것입니다. 이것을 파악하면 \( _{12} C_7 \)로 세어서 12로 나누는 것을 해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

정삼각형이 생기는 경우를 제외하기로 했죠? 정삼각형 생기는 경우는 4가지입니다. 물론 이 4가지는 같은 것이 있을 수 있습니다. 

 

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7개 점 선택에 대해서 정삼각형이 생기는 경우는 위의 그림과 같이 A, B, C, D의 4가지 경우입니다. 이 네 가지 경우는 모두 경우의 수가 같아요. 다만 각각 세다가 보면 같은 경우를 2번 이상 세는 경우가 생깁니다. 그것이 위 그림의 두 번째입니다. A, B에서 제시한 두 정삼각형이 동시에 생기는 경우입니다. 이것은 A에서도 세었고 B에서도 세었습니다. 따라서 한 번은 제외시켜야 합니다. 즉, 포함과 배제의 원리를 적용시켜야 합니다. (포함과 배제의 원리는 다음에 포스팅을...) 

 

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회전을 고려하지 않는다면 모두 다르지만 회전을 했을 때 모두 12번씩 중복이 되어서 세어지는 것입니다. 따라서 12로 나눠야 해요. 따라서 전체 경우에서 네 가지 정삼각형이 나타나는 경우에 대한 포함과 배제의 원리는 적용시킨 것을 제외하면 정답은 27입니다. 

 

정리하면 

 

빠른 이해도 좋지만 바른 이해가 필요하다. 하나의 문제를 여러 번 외울 때까지 풀어보자.

 

입니다. 중요한 것은 천천히 여러 번 하는 것입니다. 느린 것 같죠? 절대 그렇지 않습니다. 어설프게 알고 지나가는 것보다 나중에는 더 정확하게 해결할 수 있습니다. 확신합니다. 이렇게 오늘 포스팅을 마칩니다. 공감과 댓글 그리고 관심은 사랑이고 포스팅에 힘이 됩니다^^

 

 

kmo 기출 손 풀이 2022년 조합 1번

 

kmo 기출 손 풀이 2022년 중등부 조합 4번

 

kmo 기출 손 풀이 2022년 중등부 조합 3번