kmo 기출 손 풀이 2022년 중등부 조합 3번

kmo 기출 손 풀이 2022년 중등부 조합 3번입니다. 2022년에는 kmo가 온라인으로 시행되었어요. 오전, 오후 각각 1,2교시로 각 1시간 15분씩 시간이 주어졌습니다. 실제 오후 13번 문제입니다. 조합 3번은 제가 임의로 정한 것입니다.

 

파스칼-2022kmo조합

 

2022 KMO 중등부 조합 3번

2022 KMO 중등부 조합 3번은 직사각형 안의 교점의 개수를 구하는 것으로 4개의 점이 교점 하나와 일대일 대응이 된다는 사실로 구할 수 있습니다. 문제는 다음과 같습니다. 

 

▶ 2022 KMO 조합 3번(중등부)

다음과 같이 서로 다른 5개의 점 \(P_1 , P_2 , P_3  , P_4 ,  P_5 \)와 서로 다른 7개의 점 \( Q_1 , Q_2 ,..., Q_7 \) 이 직사각형의 마주 보는 두 변 위에 있다. 각 변 위의 점 \(P_i \)와 \(Q_j \)를 잇는 35개의 선분 중 어떤 세 선분도 직사각형 내부의 한 점에서 만나지 않는다. 35개의 선분들의 교점 중, 직사각형 내부에 있는 것의 개수를 구하여라. 

여러 풀이가 있을 수 있지만 다음과 같은 풀이가 그중 하나가 될 수 있습니다. 항상 더 좋은 풀이는 있을 수 있으니까요~

 

2022-kmo-중등부-조합3번-풀이-전체

 

풀이의 자세한 설명

각 단계를 조금 더 풀어서 이야기를 해보겠습니다. 항상 하는 질문이죠~

 

우리는 무엇을 세는 것인가? 어떤 수학적 대상인가?

 

지금 문제에서 원하는 것은 교점입니다. 교점은 두 선이 만나서 생기는 것인데요. 여기서는 선분이라는 것을 주목해야 합니다. 유클리드 제5 공준에 의하면 즉, 평행선 공리에 의하면 평행하지 않은 두 직선은 언젠가는 만나죠. 그런데 문제에 적용하기 조금 힘든 이유는 직선이 아니기 때문입니다. 무한히 뻗어나가서 언젠가 만나는 것으로 충분한 것이 아니라 정확히 정사각형 내부에서 만나야 합니다. 

 

교점을 세는 좋은 방법, 나아가서 도형을 세는 방법을 하나 추천한다면 "그 도형을 그려라"입니다. 왜냐하면 존재하는 도형을 세야하기 때문이죠. 즉, 다음과 같이 직사각형 내부에 점 A를 그리고 A가 생기는 상황을 생각해봅니다.

 

2022-kmo-중등부-조합3번-풀이-파트1

 

문제와 관련지어 생각해 보면 각각 점 2개씩을 A가 결정하는 것을 생각할 수 있습니다. 여기서 그 네 개의 점이 다시 교점 즉, "A를 몇 개 결정하는가"에 대한 확인을 꼭 해야 합니다. 이 경우는 정확히 1개의 A가 결정되네요. 

 

2022-kmo-중등부-조합3번-풀이-파트2

 

따라서 변 위의 네 점과 교점 한 개가 짝을 맺을 수 있네요. 이런 것을 일대일 대응이라고 합니다. 다음과 같이 표현이 되겠네요. 

 

2022-kmo-중등부-조합3번-풀이-파트3

 

이제 윗 변에서 P를 2개, 아래에서 Q를 두 개 고르면 볼록 사각형을 하나 그릴 수 있고 그 볼록 사각형 대각선의 교점이 우리가 찾던 그 교점이네요. 따라서 교점의 개수는 다음과 같이 210개입니다.

 

2022-kmo-중등부-조합3번-풀이-파트4

 

정리하면 

 

도형을 셀 때는 있는 도형을 세라!

 

그러기 위해서는 그려보고 그 도형이 생기는 상황을 생각해 보는 것이 좋습니다. 이렇게 오늘 포스팅을 마칠게요. 공감과 구독은 사랑이고 포스팅에 힘을 줍니다~^^

 

kmo 기출 손 풀이 2022년 조합 1번

 

kmo 기출 손 풀이 2022 중등부 조합 2번