2010년 중등 KMO 대수 1번 문제에 대한 포스팅입니다. 2010년 KMO는 24회로 2010년 6월 15일에 1차 시험이 있었습니다. 중등부 1차 시험은 총 20문제가 출제되었고 20문제의 구성은 생각하는 사람마다 다를 수 있지만 대수, 정수, 기하, 조합의 순서대로 각각 5, 6, 5, 4문항이 출제되었습니다.
중등 KMO 2010 대수 1번 문제에 대한 이야기
대수 1번 문제는 다항식에 관한 조건을 주고 \(x=10\) 에서의 값을 구하는 문제입니다. 다항식은 그 형태를 정확하게 알 수 있기 때문에 다른 함수를 다루는 것보다 쉽게 접근할 수 있습니다. 즉, “다항식은 문자가 곱해진 개수가 가장 많은 항에 대해 그 문자가 몇 개가 곱해졌는가?”와 “그 문자 앞에 있는 숫자들은 무엇인가?”에 대한 두 물음으로 완벽하게 표현이 됩니다. 앞의 것을 “다항식의 차수”라 하고 뒤의 것을 “다항식의 계수”라 합니다. 다음은 2010년 중등부 대수 1번 문제입니다.
■ 2010 KMO 중등부 대수 1번
두 다항식 $$P(x)=x^2 +a (a \not=0), Q(x)=x^3 +bx +c$$ 가 \(P(Q(x))=Q(P(x))\)를 만족할 때 \(Q(10)\)의 값을 구하여라.
\(P(x)=x^2 +a (a \not=0)\)에서 \(x\)가 2개 곱해진 것으로 \(P\)는 2차 다항식입니다. 마찬가지로 \(Q\)는 3차 다항식입니다. 두 번째 조건인 \(P(Q(x))=Q(P(x))\)가 의미하는 것은 \(x\)의 그 자리에 \(P(x)\)를 모두 넣으라는 것이고 우변도 마찬가지입니다. 따라서 다음과 같은 풀이를 할 수 있습니다.
중등 KMO 2010 대수 1번 풀이
\(P(Q(x))=Q(P(x))\)의 조건에 의해서 각각 대입하면 다음과 같다.
$$ \begin{align} P(Q(x))&=(x^3 + bx + c)^2 + a \\&= (x^3 +bx)^2 + 2(x^3 + bx) c + c^2 +a \\& \cdots \;\;① \end{align}$$
이고
$$ Q(P(x))=(x^2 + a)^3 + b(x^2 + a) + c \;\; \cdots ②$$
이다. 이때 ②에 1차 항이 없다는 것을 주목하면 \(c=0\) 이다.이것을 대입하고 양변을 전개하면 다음과 같다.
$$ (x^3 + bx)^2 + a = (x^2 +a)^3 + b(x^2 + a) $$ $$ \begin{align} &\;\;\;\;\;x^6 + 2bx^4 + b^2 x^2 +a \\&= x^6 + 3ax^4 +(3a^2 +b) x^2 + a^3 + ab \end{align} $$
그러므로
$$ \begin {cases} 2b=3a \\ b^2 = 3a^2 +b \\ a = a^3 + ab \Rightarrow a^2 = 1-b \end {cases} $$
이다. 아래의 두 식을 연립하면
$$ \begin{align} 0&=b^2 – 3(1-b)-b \\&= b^2 +2b -3 \\&= (b-1)(b+3) \end{align}$$ $$\therefore (a, b)=(0,1), (-2,-3) $$
에서 \(a \not=0 \) 이므로 $$ Q(x) = x^3 – 3x $$이고 \(x=10\)을 대입하면 \( 970\)을 얻는다.
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